\documentclass[a4paper,UTF8]{article}
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\newcommand{\weiyuan}[1]{\ensuremath{\mathrm{d}} #1}
\newcommand{\daoshu}[2]{\frac{\weiyuan{#1}}{\weiyuan{#2}}}
\pagestyle{fancy}
\begin{document}
\section{动量定理与动量守恒}
\subsection{动量、冲量}
$$\vec{p}=m\vec{v}$$
$$\vec{I}=\Delta \vec{p}=\vec{F}t$$
牛顿第二定律可以改写为：
$$\vec{F}=\daoshu{\vec{I}}{t}=\daoshu{\vec{p}}{t}$$
\subsection{动量守恒定理}
一个系统的总动量变化等于系统外部力的冲量；当系统为孤立系统时，系统的总动量变化为 $0$.
\subsubsection*{证明}
由定义，可知：对系统内的每个质点 $m_i$ ，都有：
$$\weiyuan{\vec{p_i}}=(\vec{F_i}+\sum_{j\neq i}\vec{F_{ij}})\weiyuan{t}$$
其中 $\vec{F_{ij}}$ 表示质点 $j$ 对质点 $i$ 的力的作用，$\vec{F_i}$ 表示质点 $i$ 受到的系统之外的合外力；\\
由牛顿第三定律，得到：
$$\vec{F_{ij}}+\vec{F_{ji}}=0$$
求和，得到：
$$\weiyuan{\vec{p_{\text{总}}}}=\sum_i\left(\vec{F_i}+\sum_{j\neq i}\vec{F_{ij}}\right)\weiyuan{t}=\sum_{i} \vec{F_i}\weiyuan{t} +\sum_{i\neq j} \left(\vec{F_{ij}}+\vec{F_{ji}}\right)\weiyuan{t}=\sum_{i}\vec{F_i}\weiyuan{ t}$$

需要指出的是，尽管我使用牛顿三定律得出了动量守恒定律——以及之前的能量守恒定律和未来的角动量守恒定律，但实际上它们是比牛顿三定律更加普遍的一般性规律，在经典力学失效的相对论时空观和量子力学领域，这三大定律依然成立；其表述的实际上是一种关于时空本质的对称性。能量守恒定律表述的是时间对称性，即相同条件下，不同时间的实验会得到相同的结果；动量守恒定律表述的是空间对称性，即相同条件下，位于不同位置的实验会得到相同的结果；角动量守恒描述的是旋转对称性，我们未来再讲。
\section{再探质心}
一个有 $N$ 个质点的系统，第 $i$ 个质点的质量为 $m_i$ ，位矢为 $\vec{r}_i$，速度为 $v_i$, 加速度为 $a_i$ ，记总质量为 $M=\sum_{i=1}^N m_i$ ，则有：
$$\vec{r}_c=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i$$
$$\vec{v}_c=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i \vec{v}_i$$
$$\vec{a}_c=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i \vec{a}_i$$
下标为 $c$ 表示这是质心相关的属性；\\
\subsection{求质心的方法}
\subsubsection{定义法求质心}
\subsubsection{割补法求质心}
\subsection{质心运动定理}
记总动量为 $\vec{p}$，容易发现 $\vec{p}=\sum_{i=1}^N m_i\vec{v}_i=M\vec{v}_c$；
$$\vec{F}_{\text{外}}=\daoshu{\vec{p}}{t}=\daoshu{M\vec{v}_c}{t}=M\vec{a_c}$$
这在形式上和牛顿第二定律非常相似；即物体的质心的运动行为好像一个质点的运动行为，该质点质量等于系统总质量，受到的力为系统的合外力。
\subsection{柯尼希定理}
显然，动能就没有上述那么优秀的性质了:记质点 $i$ 相对于质心速度 $\vec{v}_c$ 的速度为 $\vec{v}_i'$，即 $\vec{v}_i'=\vec{v}_i-\vec{v}_c$，我们来研究总动能：
\begin{equation*}
    \begin{aligned}
        E_k&=\sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m_i \vec{v}_i^2\\
        &=\sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m_i \left(\vec{v}_i'+\vec{v}_c\right)^2\\
        &=\sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m_i \vec{v}_i'^2 +\vec{v}_c \cdot \left(\sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}_i'\right) +\frac{1}{2} M\vec{v}_c^2
    \end{aligned}
\end{equation*}
质心系中，质心速度一定为 $0$ ，因此 $\sum_{i=1}^N m_i \vec{v}_i'=M\vec{v}_c'=0$，上式可写为：
$$E_k=\sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m_i \vec{v}_i'^2+\frac{1}{2}M\vec{v_c}^2=E_k'+E_{kc}$$
总动能等于质心的动能加上相对质心的动能。该定理被称为柯尼希定理。
\section{碰撞问题与二体问题初探}
两物体质量分别为 $m_1$，$m_2$，，速度为 $v_1$， $v_2$，，相对发生正碰撞，有：
$$m_1 v_1 +m_2 v_2=m_1 u_1 + m_2 u_2$$
当没有能量损失时，有：
$$\frac{1}{2} m_1 v_1^2 +\frac{1}{2} m_2 v_2^2 =\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2$$
解之得：
$$u_1=\frac{m_1 v_1+m_2 v_2}{m_1+m_2}-\frac{m_2}{m_1+m_2}(v_1-v_2)$$
$$u_2=\frac{m_1 v_1+m_2 v_2}{m_1+m_2}+\frac{m_1}{m_1+m_2}(v_1-v_2)$$
\subsection{特殊情况下的碰撞}
当 $m_1 >> m_2$ 时，上式可以化为：
$$u_1\approx v_1$$
$$u_2\approx 2v_1-v_2$$
当 $v_1=0$ 时，物体碰撞后沿原路、保持原速度返回——撞墙；当 $v_2=0$ 时，轻物体被重物体碰撞后会被以两倍速度于重物体加速反弹；\\
当 $m_1=m_2$ 时，
$$u_1=v_2,u_2=v_1$$
二者交换速度.
\subsection{牛顿碰撞定律}
相对速度有：
$$u_2-u_1=v_1-v_2$$
这也被称为完全弹性碰撞；一般的，有仅和物体的材料相关的弹性恢复系数 $e$ ，使得碰撞满足：
$$u_2-u_1=e(v_1-v_2)$$
$e=1$ 称为完全弹性碰撞，$e=0$ 为完全非弹性碰撞；在此过程中损失的动能为：
$$\Delta E_k=\frac{1}{2} (1-e^2) \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\left(v_1-v_2\right)^2$$
\subsection{在质心系中再看碰撞}
质心系是零动量系，因此前后总动量都为 $0$ ；相对质心的总能量：
$$E_k'=E_k-E_{kc}=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2-\frac{1}{2}\frac{(m_1v_1+m_2v_2)^2}{m_1+m_2}=\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(v_1-v_2)^2$$
记 $\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$，被称为约化质量；再记 $v_r=v_1-v_2$，即 $v_r$ 为相对速度，则有：
$$E_k'=\frac{1}{2}\mu v_r^2$$
损失动能即为 $\Delta E_k =(1-e^2) E_k'$——可以损失的动能一定是 $E_k'$ 的一部分（或者全部），因此 $E_k'$ 也被称为资用能；当资用能不变时，相对速度不变也是显然的。
\end{document}
